『 6÷2(1+2)=? 』引發討論的「錯誤命題」

最近臉書功能中，增加了「民調問答」項目，其中有個算術題目『 6÷2(1+2)=? 』，引發眾多討論，吸引超過300萬網友計算，而題目中兩個答案「1」和「9」的比例不相上下，各有其支持者。本來這問題只是小Case一則，但在媒體「天才」們的加持下，這個問題被大大的渲染了一番。

答案到底是1還是9？前師大附中數學教師胡天爵表示，造成這樣的疑問，原因根本就是「命題錯誤」。外傳此問題為「高等數學」的題目，胡天爵直斥為無稽，他分析這僅是小學五年級的題目，何來「高等」？「大學數學系讀的，多為文字符號，少有數字。」

胡天爵分析，這個問題最大的狀況，是出在「括號」和「2」之間的乘號X，到底是否可以省略。「這題2(1+2)的小括號是要打破2x1+2中2x1「先算法則」(先乘除，後加減)，原來2與1中間有乘號x，怎可因為括號出現後去掉呢 ?」

他說如果2與(1+2)的中間是應該有運算符號乘號X，這X不應該省略不寫，「乘號省略是因為代表數符號出現後才有的，」胡天爵舉例，在代數中，6乘以X記為6xX，但因為乘號x與文字X容易混淆，所以用黑點「‧」來替代乘號x，寫成6‧X，也可將「‧」省略，記成 6X。

但沒有了這個乘號，整個題目就被誤會了。

胡天爵說，這個題目，會被人誤會為「6÷2x(1+2)=?」或是「6÷[2x(1+2)]=?」，其主因在於缺乏乘號x的2(1+2)很容易被當成一個數，「於是算式就變成後面那個有中括號的題目。」

「如果題目改為『6÷2x(1+2)=?』，解法是由左而右順序運算，答案是3x(1+2)=9；如果題目改為『6÷[2x(1+2)]=?』，解法是由小括號內(1+2)=3運算先做，再做中括號內[2 x(1+2)]=6，答案是6÷6 =1。」胡天爵認為，這題不該拿來問，「因為題目本身有問題！」他說「6÷2x(1+2)=?」才是正確題目，答案 9 是正確題目的正確答案。

至於外傳這個題目是來自於按計算機所做出來的問題，胡天爵認為，基本上應該來自於工程式計算器(Engineering Calculator)的運算邏輯，在計算器上按式子6÷2(1+2)=? ，除了?不按=用Enter表示，其他都是用指按一次鍵。

他表示，這個題目其實在早期數學課本裡就有類似的想像。他曾經在1973到1975年被徵召到師大科學教育中心，編寫75年版國中數學課本，「我們首將計算器(calculator)用法編入國中數學選修教材，這時我們才去了解「計算器」內部設定的「演算法則」(Algorithms)。」跟當時computerIO交換碼一樣是戰國時代，胡天爵說，由於不同牌子的計算器有不同的設定方式，「又因calculator是用0與1的Machine code寫演算程式，不同按法會產生不同答案。」這種題目，答案明明是1，但在計算器上就可能用「.999999」表示，「還有溢位(overflow)等各種不可思議的問題。」

在當時，由於micro ccomputer才萌芽，這些差異都得靠符合機器Algorithms的「按鍵規則」來排除，「所以這題如果用當年的計算機，那得到答案不只有9和1，還會有8.9999...也不意外。」

最後，胡天爵指出，數學與現今的科技相同，都是用來解決麻煩的問題，而不是用錯的表示法來製造麻煩，「對數學而言，因不同時候就得做不同解釋。」他舉例，在小學你說1+1=2是當然，但是在大學甄選第二階段口試，交大資工系及交大應數系都曾問過「1+1=2。為何不是3？」

這種問題，99%的學生不會回答，其實都在定義的問題，「數學定義奇數，小學是1,3,5......，如果遇到突變怎辦？但在國中就得先定義偶數，要定義偶數，要先定義倍數或整除，這些都是數學邏輯問題。」胡天爵強調，這樣的問題才是發學生思考的本能，「拿一個似是而非的問題難倒學生，絕對不是一個教數學的人會做的。」

(全文閱讀同步刊載於解決問題還是製造麻煩？)